دستگاه‌های شمار
برای شمارش معمولاً از روش «دهدهی» استفاده می‌کنیم. اما اینک از روش‌های دیگری هم مانند «دودویی»، «هشت هشتی»، «شانزدهی»
و... استفاده فراوان می‌شود. اولین بار هندی‌ها، سیستم اعداد ده دهی را با
10 سمبل اختراع کردند. هر سمبل دارای یک ارزش مکانی و یک ارزش مطلق داشت.
از آن جایی که دست‌ها راحت‌ترین وسیله طبیعی برای شمارش بودند، بشر همواره
در صدد بود که از آن‌ها برای شمارش استفاده نماید و به این جهت است که اغلب
کشورها برای شمارش عادی از مبنای 10 استفاده می‌کنند.
در واقع
دستگاه‌های شمار براساس نوعی دسته بندی اشیاء تعریف می‌شوند. دسته بندی‌های
ده‌تایی، صدتایی، هزارتایی و... را دستگاه دهدهی و دسته‌بندی‌های دوتایی،
چهارتایی، هشت‌تایی و... را دستگاه دودویی می‌نامند. از دستگاه دودویی در
طراحی سیستم‌های رقمی و رایان‌های استفاده می‌شود.
مبنا یا پایه سیستم (Radix):
نوع دسته بندی اعداد را مبنا
می‌گوییم. اعداد در مبنای 10 به صورت ده‌تایی، صدتایی، هزارتایی و غیره و
از 10 سمبل مجاز از ارقام عربی برای نشان دادن مقدار کمیت عدد تشکیل شده
است.
نقطه شکست (Break Point):
در هر سیستمی، هر علامت از نظر ارزش، یکی بیشتر از سمبل ماقبل خود است و به این حالت «پیشرفت سمبل»
در آن سیستم می‌گویند. مثلاً عدد بالای صفر، عدد یک است و عدد بالای 9،
عدد 10 است که صفر آن همان صفر و عدد یک آن به رقم با ارزش مکانی بالاتر
اضافه می‌شود و این نقطه به عنوان اولین نقطه شکست شدن ارقام نامیده
می‌شود.
در هر سیستم عددی، ارقام دارای 3 نوع ارزش هستند:
1) ارزش رقم در عدد: رقمی
که در منتهای الیه سمت راست قرار می‌گیرد به نام رقم با کم‌ترین ارزش یا
LSD که سرواژه Least Significant Digit است و رقمی که در منتهی الیه سمت چپ
یک عدد قرار می‌گیرد به نام رقم با بالاترین ارزش یا MSD که سرواژه Most
Significant Digit نامیده می‌شوند.
2) ارزش سمبلیک: شمل ظاهری هر علامت مقدار آن سمبل را نشان می‌دهد. مثلاً شکل 1 عدد 1 را مشخص می‌سازد.
3) ارزش مکانی: محلی
است که نشان می‌دهد که رقم در کدام نقطه شکسته شدن ارقام قرار دارد. مثلاً
در سیستم دهدهی، یکان، دهگان و صدگان ارش‌های مکانی نامیده می‌شوند و در
حقیقت 10 به توان صفر (یکان)، 10 به توان یک (دهگان) و... توان‌های صحیح و
متوالی از پایه سیستم عدد را نشان می‌دهند.
سیستم‌های اعداد
1) دودیی (Binary): این
سیستم عدد نویسی به علت داشتن حالت خاص (تعداد سمبل به کار رفته کم‌تر) و
مساوی بودن تعداد علامت به کار رفته صفر و یک با دو حالت خاموش و روشن در
دنیای الکترونیک بیش از سایر سیستم‌های اعداد در مکانیزم سخت افزار
کامپیوتر وارد شده است.
2) هشت تایی (Octal): این
سیستم اعداد که به پایه هشت معروف است دارای 8 سمبل 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
می‌باشد و هر رقم پایه با 3 بیت دوتایی نشان داده می‌شود. (چون 2 به توان 3
مساوی است با 8) علت استفاده از سیستم هشت‌تایی این است که اعداد
در پایه 8 به پایه 2 به طور سریع قابل تبدیل هستند. مثلاً برای تبدیل عدد
735 در مبنای 8 به مبنای 2 کافی است معادل هر رقم را با 3 بیت دودویی پهلوی
هم نشان دهیم. برای عدد 5 معادل 3 بیتی آن عدد 101 می‌شود و برای عدد 3
عدد 011 و برای عدد 7 عدد 111 می‌شود. پس عدد 735 در مبنای 8 عدد
111011101 در مبنای 2 می‌شود.
3) دهدهی (Decimal): قبلاً توضیح داده شد.
4) شانزدهی (Hexadecimal): همان
طوری که از نامش پیداست مبنای این سیستم عدد 16 است؛ بنابراین شانزده عدد
سمبل در آن برای نمایش اعداد به کار میرود. همان طور که سیستم اعداد مبنای
10 دارای 10 سمبل هستند، سیستم اعداد مبنای 16 هم دارای 10 سمبل هستند. از
طرفی اعداد بالای 9 را نمی‌توانیم به صورت یک رقم بنویسیم، بنابراین این
اعداد را با حروف الفبا مشخص می‌کنیم. ارقام مبنای 16 عبارتند از: 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
تبدیل مستقیم توان 2
با توجه به آن که اعداد 8 و 16 توان‌هایی از 2 هستند، می‌توان آن‌ها را به
روش سادهای به هم تبدیل کرد. در این روش ابتدا عدد را در مبنای 2 و سپس
به مبنای مورد نظر تبدیل می‌کنیم. مثلاً در تبدیل از مبنای 2 به مبنای 16،
هر جهار رقم در مبنای 2 معادل یک رقم در مبنای 16 است. به همین ترتیب هر سه
رقم در مبنای 2 معادل یک قم در مبنای 8 است.